背包问题
1 01背包
一、题目描述
有N件物品和一个容量为V的背包。第i件物品的价格（即体积，下同）是w[i]，价值是c[i]。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的费用总和不超过背包容量，且价值总和最大。
二、ruby方案
思路： 主要就是一个问题： 当前物品装还是不装。
求最大，所以动态规划。
dp[i][v] 表示前i个背包装入容量为v的背包中所可以获得的最大价值。(V初始值为最大值)
对于一个物品只有两种情况，装或不装,故状态转移方程
1、第i件不放进去，f[i-1][v]
2、放进去， f[i-1][v-w[i]] + c[i]
1 代码
def bag_01(vals, volumes, bag_volume)
return 0 if bag_volume <= 0 || vals.nil? || vals.empty? || volumes.nil? || volumes.empty?
size = vals.size
dp = Array.new(size){Array.new(bag_volume, 0)}
dp[0][0] = 0
i = 1
while i < size do
if volumes[i] > bag_volume
dp[i][bag_volume] = dp[i - 1][bag_volume]
else
dp[i][bag_volume] = [dp[i - 1][bag_volume], dp[i - 1][bag_volume - volumes[i]] + vals[i]].max
end
end
dp[size - 1][bag_volume]
end
还有一种思路，一维数组的写法，设 f[v]表示重量不超过v公斤的最大价值， 则f[v]=max(f[v]，f[v-w[i]]+c[i]) ，当v>=w[i]，1<=i<=n 。
2 典型背包问题
题目描述 Description
辰辰是个天资聪颖的孩子，他的梦想是成为世界上最伟大的医师。为此，他想拜附近最有威望的医师为师。医师为了判断他的资质，给他出了一个难题。医师把他带到一个到处都是草药的山洞里对他说：“孩子，这个山洞里有一些不同的草药，采每一株都需要一些时间，每一株也有它自身的价值。我会给你一段时间，在这段时间里，你可以采到一些草药。如果你是一个聪明的孩子，你应该可以让采到的草药的总价值最大。”
如果你是辰辰，你能完成这个任务吗？
输入描述 Input Description
输入第一行有两个整数T（1<=T<=1000）和M（1<=M<=100），用一个空格隔开，T代表总共能够用来采药的时间，M代表山洞里的草药的数目。接下来的M行每行包括两个在1到100之间（包括1和100）的整数，分别表示采摘某株草药的时间和这株草药的价值。
输出描述 Output Description
输出包括一行，这一行只包含一个整数，表示在规定的时间内，可以采到的草药的最大总价值。
样例输入 Sample Input
70 3
71 100
69 1
1 2
样例输出 Sample Output
3
数据范围及提示 Data Size & Hint
【数据规模】
对于30%的数据，M<=10；
对于全部的数据，M<=100。
2 完全背包
一、题目描述
有N种物品和一个容量为V的背包，每种物品都有无限件可用。第i种物品的费用是w[i]，价值是c[i]。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的费用总和不超过背包容量，且价值总和最大。
二、ruby方案
思路：
完全背包和01背包十分相像， 区别就是完全背包物品有无限件。由之前的选或者不选转变成了选或者不选，选几件。
和01背包一样，我们可以写出状态转移方程：f[i][v]=max(f[i-1][v - k x c[i]] + k x w[i]) 0<= k x c[i] <=v
容量为V时，第i件物品选k件时所获取最大价值。
此外可以预处理优化：
当一个物品的价值小于另一个物品的价值，但是价格高于另一个物品，我们就可以不去考虑这个物品。即若两件物品i、j满足c[i]<=c[j]且w[i]>=w[j]，则将物品j去掉，不用考虑。
def bag_full(vals, volumes, bag_volume)
return 0 if bag_volume <= 0 || vals.nil? || vals.empty? || volumes.nil? || volumes.empty?
size = vals.size
dp = Array.new(size){Array.new(bag_volume + 1, 0)}
dp[0][0], dp[1][0], dp[0][1] = 0, 0, 0
i = 1
while i < size do
k = bag_volume / volumes[i]
dp[i][bag_volume + 1] = dp[i-1][bag_volume]
1.upto(k).each do |j|
value = dp[i-1][bag_volume - j * volumes[i]] + k * vals[i]
dp[i][bag_volume] = value if dp[i][bag_volume] < val
end
end
dp[size][bag_volume]
end
3 多重背包
一 题目描述
有N种物品和一个容量为V的背包。第i种物品最多有n[i]件可用，每件费用是w[i]，价值是c[i]。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的费用总和不超过背包容量，且价值总和最大。
2 ruby方案
这里又多了一个限制条件，每个物品规定了可用的次数。
同理，我们可以得出状态转移方程：f[i][v]=max(f[i-1][v-k x w[i]]+ k x c[i]) 0<=k<=n[i]
def bag(vals, volumes, times, bag_volume)
return 0 if bag_volume <= 0 || vals.nil? || vals.empty? || volumes.nil? || volumes.empty? || times.nil? || times.empty?
size = vals.size
dp = Array.new(size){Array.new(bag_volume + 1, 0)}
dp[0][0], dp[1][0], dp[0][1] = 0, 0, 0
i = 1
while i < size do
k = bag_volume / volumes[i]
dp[i][bag_volume + 1] = dp[i-1][bag_volume]
1.upto(k > times[i] ? times[i] : k).each do |j|
value = dp[i-1][bag_volume - j * volumes[i]] + k * vals[i]
dp[i][bag_volume] = value if dp[i][bag_volume] < val
end
end
dp[size][bag_volume]
end
题目例子
庆功会
【问题描述】
为了庆贺班级在校运动会上取得全校第一名成绩，班主任决定开一场庆功会，为此拨款购买奖品犒劳运动员。期望拨款金额能购买最大价值的奖品，可以补充他们的精力和体力。
【输入格式】
第一行二个数n(n<=500)，m(m<=6000)，其中n代表希望购买的奖品的种数，m表示拨款金额。 接下来n行，每行3个数，v、w、s，分别表示第I种奖品的价格、价值（价格与价值是不同的概念）和购买的数量（买0件到s件均可），其中v<=100，w<=1000，s<=10。
【输出格式】
第一行：一个数，表示此次购买能获得的最大的价值（注意！不是价格）。
【输入样例】
5 1000
80 20 4
40 50 9
30 50 7
40 30 6
20 20 1
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